للبرهان على منتصف القطعة

 الأولى إعدادي   طريقة 1: إذا كانت A و B وI نقط مستقيمية
                و IA = IB.
    فإن : النقطة
I منتصف القطعة [AB]
 الأولى إعدادي   طريقة 2:  إذا كانت النقطة B مماثلة النقطة A بالنسبة لنقطة I
       فإن النقطة I منتصف القطعة [AB].
 الأولى إعدادي   طريقة 3:  إذا كانت I  نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع ABCD
      فإن: I منتصف [AC] و [BD].
 الأولى إعدادي   طريقة 4:   إذا كانت I الدائرة (C)
                  و [AB] قطر للدائرة (C)
     فإن النقطة I منتصف القطعة [AB].
 الأولى إعدادي   طريقة 5:  إذا كانت I تقاطع واسط القطعة [AB] و المستقيم (AB)
     فإن
I منتصف القطعة [AB].
 الأولى إعدادي   طريقة 6:  إذا كان ABC مثلث متساوي الساقين في A ،
                وH المسقط العمودي للنقطة A على المستقيم (BC),
  فإن: النقطة H منتصف القطعة [BC].
الثانية إعدادي   طريقة 7:  (باستعمال مركز ثقل المثلث)
   في مثلث ABC .
   إذا كان
(B'B) و (C'C) متوسطي لمثلث ABC متقاطعان في نقطة G.
   فإن النقطة G هي مركز ثقل المثلث ABC .
 و منه: المستقيم
(AG) يمر من منتصف القطعة [BC].
الثانية إعدادي   طريقة 8:  إذا كان ABC مثلث قائم الزاوية في A
   
            و كانت O مركز الدائرة المحيطة بالمثلث ABC.
    فإن النقطة
O منتصف القطعة [BC].
الثانية إعدادي   طريقة 9:  في مثلث ABC
     إذا كانت
I منتصف [AB]،
     و النقطة J من المستقيم (AC)،
     و المستقيم (IJ) يوازي المستقيم (BC)
    فإن النقطة J منتصف القطعة [AC].
الثانية إعدادي  طريقة 10:  إذا كانت:
 

    فإن النقطة
Iمنتصف القطعة [AB].
الثالثة إعدادي  طريقة 11: